Kegelschnitte

Kegelschnitte,

 

ebene Schnittfiguren eines geraden Kreiskegels K (Spitze S) mit einer Ebene E. Folgende Fälle sind möglich:

 

1. E geht durch S und

 

a) hat nur diesen Punkt mit K gemeinsam,

 

b) berührt K längs einer Mantellinie,

 

c) schneidet K in zwei Mantellinien.

 

Die Kegelschnitte sind dann: a) ein Punkt, b) eine (Doppel-)Gerade, c) ein Geradenpaar (Sonderfall: Parallelenpaar, wenn K zu einem Zylinder entartet ist).

 

2. E geht nicht durch S und ist parallel zu einer Ebene durch S, die

 

a) nur diesen Punkt mit K gemeinsam hat,

 

b) K längs einer Mantellinie berührt,

 

c) K in zwei Mantellinien schneidet.

 

Die Kegelschnitte sind dann: a) Ellipsen (eventuell Kreise), b) Parabeln, c) Hyperbeln.

 

In den ersten Fällen spricht man von entarteten (singulären) Kegelschnitten, in den letzten von eigentlichen (nicht entarteten oder regulären) Kegelschnitte oder kurz von Kegelschnitten. Zur Herleitung der charakteristischen Eigenschaften der eigentlichen Kegelschnitte kann man sich der dandelinschen Kugeln bedienen.

 

Die allen eigentlichen Kegelschnitten gemeinsame Scheitelgleichung (Scheitel der Kurve im Ursprung O des Koordinatensystems) lautet: y² = 2px — (1 — ε²)x². Diese Gleichung stellt für ε < 1 eine Ellipse (für ε = 0 einen Kreis), für ε = 1 eine Parabel und für ε > 1 eine Hyperbel dar; p ist der Parameter des Kegelschnitts.

 

Wählt man in den Polarkoordinaten ρ, ϕ die (Haupt-)Achse als natürliche Nullrichtung und einen Brennpunkt F als Ursprung, so erhält man die Polargleichung der Kegelschnitte:

 

Auch in der folgenden Leitlinieneigenschaft, die schon Euklid zur gemeinsamen Definition der Kegelschnitte benutzte, charakterisiert die Größe ε die Art des Kegelschnittes: Der geometrische Ort aller Punkte, für die das Verhältnis der Abstände zu einem gegebenen Brennpunkt F und zu einer gegebenen Leitgeraden konstant gleich ε ist, ist ein Kegelschnitt mit der numerischen Exzentrizität ε. Für ε < 1 hat man eine Ellipse, für ε = 1 eine Parabel, für ε > 1 eine Hyperbel. Haben bei einer Ellipse oder Hyperbel die beiden auf der Hauptachse liegenden Brennpunkte den Abstand 2 a, so bezeichnet man a auch als Halbachse.

 

Kegelschnitte nennt man auch Kurven zweiter Ordnung, da ihre Gleichungen in einem beliebigen euklidischen Koordinatensystem mit den Koordinaten x, y die Form einer Gleichung zweiten Grades besitzen.